Raíz cuadrada

Revisado por Rafael C. Asth

Profesor de Matemática y Física

La raíz cuadrada de un número es la operación inversa a elevar una cifra al cuadrado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, pues 4² = 16. Esta operación se puede enunciar como:

• √16 = 4, o
• 16^1/2 = 4.

El resultado de calcular una raíz cuadrada es siempre el valor absoluto de un número, o sea, |y|. El motivo es que elevar al cuadrado una cifra positiva da el mismo resultado que con su valor negativo. Siguiendo el ejemplo anterior, 4² da lo mismo que (-4)², es decir, 16, por lo que la raíz cuadrada puede ser 4 o -4.

Por lo tanto, la raíz cuadrada se representa de la siguiente forma:

La raíz cuadrada se compone de dos partes: la raíz, con símbolo √, y el radicando, que es el número "x" al que se le aplica la raíz cuadrada. El radicando siempre ha de ser un número positivo, pues ningún número real elevado al cuadrado puede dar un número negativo.

Otra propiedad a tener en cuenta es que las raíces cuadradas pueden ser exactas (sin decimales) o no (con decimales).

Cómo sacar a mano la raíz cuadrada

Para calcular a mano la raíz cuadrada de un número, hemos de desglosar el radicando y seguir una serie de pasos. La longitud del proceso dependerá de si la raíz es un número entero o no.

1. Raíces cuadradas con raíz exacta

Procedamos a calcular la raíz cuadrada de 625. Para iniciar el proceso, debemos separar las cifras del radicando por parejas, comenzando por la derecha. Como el número 625 solo tiene tres cifras, solo habrá una pareja, 25.

Hecho esto, tomemos la primera cifra, 6. Ahora hemos de hallar un número que, al elevarlo al cuadrado, sea igual o menor a 6. En este caso es 2, ya que:

• 2² = 4 < 6, y
• 3² = 9 > 6.

Por lo tanto, tenemos:

Ya hemos encontrado la primera cifra de la raíz cuadrada de 625, que es 2. A continuación, elevamos dicha cifra al cuadrado, lo que nos da 4, y la utilizamos para restar la primera cifra del radicando, 6. Esta operación nos deja un resto de 2.

El siguiente paso es bajar la pareja de cifras, 25, y unirla con el resto que recién hemos obtenido.

Nos quedan unos pocos pasos más. Por ahora, escribamos el doble de la primera cifra que hemos obtenido de la raíz, es decir, 2·2 = 4. Ponemos este nuevo número debajo, en un renglón auxiliar.

A continuación, tenemos que hallar un número que, al añadirlo al número 4 del renglón auxiliar y multiplicar la nueva cifra por el mismo número, dé igual a 225 o menos.

Para ejemplificar esta parte del proceso, probemos diferentes números:

• Si añadimos la cifra 1 al número 4 del renglón auxiliar, obtenemos 41 · 1 = 41. Es un número bastante bajo respecto a 225.
• Si añadimos 2, tenemos 42 · 2 = 84. Sigue siendo muy bajo.
• Con 3, tenemos 43 · 3 = 129.
• Con 4, tenemos 44 · 4 = 176.
• Con 5, tenemos 45 · 5 = 225.

Vemos que esta operación, usando la cifra 5, resulta igual a 225. Por lo tanto, 5 será la segunda cifra de la raíz, formando así el número 25:

Para terminar, nos queda realizar la segunda resta:

En este caso, como el resto es 0, eso significa que la raíz exacta de 625 es 25, sin decimales.

2. Raíces cuadradas con raíz no exacta

Las raíces no exactas son aquellas que no son números enteros, o sea, tienen decimales. En estos casos, el proceso se puede alargar más o menos, según el número de decimales que haya o desees obtener. Para demostrar cómo sacar a mano este tipo de raíces cuadradas, tomemos un número similar al ejemplo anterior: 675.

Los primeros pasos son similares. Por lo tanto, saltemos directamente adonde nos quedamos en el ejemplo previo:

Vemos que nos queda un resto, así que la raíz no es exacta. A partir de ahora, debemos calcular los decimales. Para ello, debemos colocar el signo decimal al final de la raíz, bajar un par de ceros y juntarlos con el resto, formando el número 5000.

Añadamos otro renglón auxiliar debajo del que teníamos antes. El valor a introducir en el nuevo renglón será igual al doble de la raíz que tenemos actualmente: 25·2 = 50.

Hallemos ahora una cifra que, al añadirse al número 50 y multiplicarlo por dicho número, de 5000 o menos:

• Con 1, tenemos 501 · 1 = 501.
• Con 2, tenemos 502 · 2 = 1004.
• ...
• Con 9, tenemos 509 · 9 = 4581, la cifra más cercana a 5000, sin pasarse.

El número 9 será la primera cifra decimal de la raíz. Procedamos a calcular el resto:

Seguimos teniendo un resto, por lo que la raíz presenta más decimales. Para hallar los siguientes, repite el mismo proceso hasta tener la exactitud deseada.

Ejemplos de raíces cuadradas sacadas a mano

Abajo compartimos tres ejemplos más de raíces cuadradas que hemos calculado, para que puedas ver el proceso seguido.

Ejemplo 1: Calcular la raíz cuadrada de 289

La raíz cuadrada de 289 es exacta, 17.

Ejemplo 2: Calcular la raíz cuadrada de 77

La raíz cuadrada de 77 no es exacta. Con dos decimales, el resultado es 8,77. Puedes proseguir usando el método si deseas hallar más decimales.

Nota: para hallar el número 174 del segundo renglón auxiliar, has de tomar la cifra 87 (la raíz calculada hasta entonces, sin decimal) y multiplicarlo por 2.

Ejemplo 3: Calcular la raíz cuadrada de 12544

La raíz cuadrada de 12544 es exacta, 112.

Cómo simplificar raíces cuadradas

Puedes simplificar las raíces cuadradas encontrando los factores del radicando. Explicaremos esto con un ejemplo.

Partamos del número 162. Podemos calcular la raíz usando los métodos presentados anteriormente, o tratar de simplificarla primero. Para empezar, como 162 es un número par, dividámoslo por 2, lo que nos da 81. Esto significa que:

Cuando una raíz cuadrada incluye una multiplicación o división, podemos separar los operandos en sus respectivas raíces. Ahora, 81 es el cuadrado perfecto de 9. Esto nos deja con:

Gracias al proceso de simplificación, ahora solo necesitamos calcular a mano la raíz cuadrada de 2.

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Cómo citar: (27/10/2023). "Raíz cuadrada". En: Significados.com. Disponible en: https://www.significados.com/raiz-cuadrada/ Consultado: