Los radicales son números representados con el símbolo √, y que dan lugar a la operación matemática de la radicación o de hallar la raíz. Asimismo, los radicales son el resultado de elevar a un número un exponente fraccionario.
Los radicales consisten de diferentes partes. Por ejemplo, teniendo en cuenta el radical 3√64, las partes que lo componen son:
64, que es el radicando del radical, el número cuya raíz queremos hallar;
3, que es el índice u orden del radical, el cual indica cuantas veces ha de multiplicarse la raíz por sí misma para que nos dé el radicando;
√, que es el símbolo de la operación de la radicación, y que siempre precede al radicando.
Con los radicales podemos realizar diferentes operaciones matemáticas, como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Algunas operaciones con radicales se pueden simplificar teniendo en cuenta las siguientes propiedades:
Raíz de un producto
La raíz de un producto de dos números diferentes es:
Raíz de un cociente
La raíz del cociente de dos números diferentes es:
Raíz de una potencia
La raíz de un número elevado a una potencia es:
Si la potencia coincide con el índice del radical, estos se anulan:
También podemos simplificar radicales si se cumple lo siguiente:
Raíz de una raíz
La raíz de otra raíz de un número es:
Producto de radicales con índices diferentes y mismo radicando
El producto de dos raíces que tienen en el mismo radicando, pero cuyos índices difieren, es:
Otras propiedades a tener en cuenta
La raíz de un radical con 1 de radicando siempre será 1, independientemente del índice de dicho radical:
La raíz de un radical con 0 de radicando siempre será 0, independientemente del índice de dicho radical:
A continuación, compartimos una serie de ejercicios que te servirán para poner en práctica las operaciones con radicales que podemos realizar según las propiedades.
Ejercicio 1: suma y resta de radicales
Resuelve la siguiente operación de radicales:
Respuesta: 5.
Para resolver esta operación con radicales, el primer paso es resolver cada radical por separado:
Halladas las raíces de cada radical, realizamos la suma y resta:
La solución a esta operación de radicales es 5.
Ejercicio 2: raíz de un producto
Resuelve estas dos operaciones:
Respuestas:
a) 108
b) 24
La propiedad de la raíz de un producto nos indica que podemos calcular la raíz de cada término del producto por separado. Teniendo esto en cuenta, resolvamos la primera operación, a).
La solución para la operación a) es 108.
En la segunda operación, b), el radical viene precedido de un coeficiente, 4. Ten en cuenta que, al aplicar la propiedad de la raíz de un producto, este coeficiente debe multiplicar los radicales.
Resolvamos la operación:
La solución para la operación b) es 24.
Ejercicio 3: raíz de un cociente
Resuelve estas dos operaciones:
Respuestas:
Estamos ante dos radicales cuyo radicando es un cociente. El primer radical, a), es bastante sencillo, pues podemos resolver la raíz cuadrada para cada término del cociente:
El segundo radical, b), requiere un paso previo antes de aplicar la propiedad de la raíz de un cociente. Hagamos la suma y resta para hallar el nuevo numerador y denominador del cociente:
Apliquemos ahora la propiedad y resolvamos el radical:
Ejercicio 4: raíz de una potencia
Aplica la propiedad de la raíz de una potencia en los siguientes radicales:
Respuestas:
Miremos cada caso por separado. El radical a) es una raíz cuadrada de 43. Lo primero a tener en cuenta es que la raíz cuadrada es lo mismo que un radical de índice u orden 2.
Si aplicamos la propiedad, tenemos:
El radical b) está elevado a una potencia. Sabiendo que elevar toda la raíz a una potencia es lo mismo que elevar el radicando por la misma potencia, se trata de un caso similar al primer radical.
Por último, el radical c) es un caso particular de las raíces de una potencia, pues el índice del radical y la potencia coinciden. Por tanto, se anulan:
Ejercicio 5: raíz de una raíz
Resuelve las siguientes operaciones:
Respuestas:
a) 4
b) 3
Para resolver ambas operaciones con radicales, nos serviremos de la propiedad de la raíz de una raíz. Esta nos dice que debemos multiplicar los índices de los radicales y mantener el radicando.
Resolvamos el radical a):
La solución a la operación a) es 4.
En la segunda operación, b), tenemos una resta de radicales. Antes de restar, hemos de hallar las raíces de ambos radicales:
Ahora podemos restar:
La solución a la operación b) es 3.
Ejercicio 6: mismo radicando e índices diferentes
Resuelve las siguientes operaciones:
Respuestas:
a) 243
b) 64
Hay una propiedad de los radicales que nos indica lo siguiente: si dos radicales poseen el mismo radicando y distintos índices, se multiplican los índices y se eleva el radicando por la suma de dichos índices.
Apliquemos la propiedad para la operación a):
La solución a la operación a) es 243.
En la operación b), hemos de realizar primero las operaciones contenidas en los radicales y ver si los radicandos coinciden:
Los radicandos sí coinciden, así que podemos aplicar la propiedad:
La solución a la operación b) es 64.
Ejercicio 7: aplicación de diversas propiedades
Resuelve las siguientes operaciones con radicales, teniendo en cuenta todas las propiedades:
Respuestas:
a) 43
b) 38
Operación a)
Para resolver ambas operaciones con radicales, te servirá ir paso a paso. Por ejemplo, en la operación a) aconsejamos comenzar con el producto de radicales:
Si nos fijamos en el primer radical, el exponente del radicando, 4, es mayor que el índice del radical, 3. Por tanto, podemos aplicar la siguiente propiedad:
Ahora tenemos un radical repetido, de índice 3 y radicando 27, podemos proceder de la siguiente forma:
La segunda parte de la operación incluye un coeficiente y una raíz de un cociente:
Aquí debemos resolver el radical aplicando la propiedad de la raíz de un cociente, y luego multiplicar el resultado por el coeficiente, -1000:
Recuerda que la raíz de 1 es siempre 1, sea cual sea el índice del radical. Ya resueltos los radicales, realizamos la resta:
La respuesta es 43.
Operación b)
Para resolver esta operación, fijémonos primero en los dos primeros términos que se multiplican:
A primera vista, parece que tenemos solo un radical. No obstante, el primer término está elevado a un exponente fraccionario. Si revisas las propiedades, verás que puedes transformarlo en un radical:
Ahora tenemos un producto de radicales con el mismo radicando e índices diferentes. Aplicamos la propiedad correspondiente y resolvemos:
Pasemos ahora la raíz de una raíz:
Aquí se puede resolver sirviéndote de dos propiedades: el de la raíz de una raíz, y el de la raíz de un producto. Apliquemos estas propiedades de forma consecutiva:
Ya resueltos todos los radicales, el último paso es realizar la suma:
Profesor de Matemáticas, licenciado en Estadística y posgraduado en Enseñanza de Matemáticas y Física. Ha sido profesor desde 2006 y crea contenidos educativos en línea desde 2021.
